Z = {... , – 4, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

O conjunto dos números inteiros é infinito. A escolha da letra Z para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão, significar número.

É trivial entender que o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto dos números inteiros Z, ou seja: N Ì Z.

Define-se o módulo de um número inteiro como sendo o número sem o seu sinal algébrico. Assim é que , representando-se o módulo de um número inteiro x qualquer por |x|, poderemos citar como exemplos:
| –7 | = 7; | – 32 | = 32; | 0 | = 0; etc
O módulo de um número inteiro é, então, sempre positivo ou nulo.

Chama-se oposto (ou simétrico aditivo) de um número inteiro a ao número – a.

Propriedades dos números inteiros:

1 – Todo número inteiro n, possui um sucessor indicado por suc(n), dado por suc(n) = n + 1. 
Exemplos: suc(– 3) = – 3 + 1 = - 2; suc(3) = 3 + 1 = 4.

2 – Dados dois números inteiros m e n, ocorrerá uma e somente uma das condições :
m = n  [ m igual a n ] (igualdade)
m > n  [ m maior do que n ] (desigualdade)
m < n  [ m menor do que n] (desigualdade).
Esta propriedade é conhecida como Tricotomia.

Nota: Às vezes teremos que recorrer aos símbolos ³ ou £ os quais possuem a seguinte leitura:
a ³ b [ a maior do que b  ou a = b ].
a £ b [ a menor do que b ou a = b ]

Assim por exemplo, x £ 3, significa que x poderá assumir em Z os valores
3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, - 4, ...

Já x < 3, teríamos que x seria 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, ...

É óbvio que o zero é maior do que qualquer número negativo ou na sua forma equivalente, qualquer número negativo é menor do que zero.

... –10, – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

A qualidade dos números negativos

Todo número natural tem um aspecto quantitativo, pois mede a quantidade de elementos de um conjunto. Mas esse número também traz uma ideia qualitativa, que é a positividade. Assim, ao dizer “5 livros”, traduzimos uma afirmação positiva sobre essa especifica quantidade de livros. Mas a experiência nos leva à necessidade de considerar números naturais com a qualidade de negativo.

Podemos fazer isso com uma construção do tipo “faltam-me 5 livros”, ou então “a temperatura está 8 graus abaixo de zero”. A Álgebra também apresenta situações em que se faz necessário considerar os números naturais com a qualidade de negatividade. Por exemplo, ao procurar uma possível solução x da equação 7 + x = 3, vemos que nenhum número natural pode exercer esse papel. Percebemos que o valor quantitativo de x deve ser 4, mas x deve agir na operação 7+x de forma oposta à adição usual. É necessário que +x opere retirando quatro unidades de 7, para resultar 3.

Essas observações nos trazem a ideia de considerar, para cada número natural n 6= 0, um outro número, quantitativamente igual a n mas de qualidade oposta. Chamaremos de negativos a esses números.

Convém criar uma notação para esse novo número, por exemplo, ñ. Vemos que ñ deve ser caracterizado pelas relações

n + ñ = 0 = ñ + n

para todo número natural

Em particular, com a construção desses números, poderemos dizer que a solução da equação 7 + x = 3 dada acima passaria a ser x = ~4, pois 7 + ˜4 = 3 + 4 + ˜4 = 3 + 0 = 3.

O estudante bem sabe que a Matemática consagrou a notação −n para o número negativo correspondente a n. Diremos que −n é o oposto de n.

Existem razões práticas para a escolha da notação −n para o oposto de n. Ela simplifica a manipulação de expressões algébricas, combinando a notação de subtração com a de oposto. Por exemplo, a adição de 8 com −5, a ser representada por 8 + (−5), poderá ser simplificada para 8−5, pois ambas as expressões tem o mesmo significado: estão sendo retiradas 5 unidades de 8.

Observamos que a consideração dos números negativos não constituem uma mera substituição da subtração. No contexto dos números naturais a subtração a−b só tem sentido quando a ≥ b. No novo contexto, com o acréscimo dos números negativos, poderemos processar a subtração a − b quaisquer que sejam o números naturais a e b. Se b > a o valor de a − b será um desses números negativos, mais exatamente, o oposto de b − a.

Operações em Z

1 – Adição:

a + b = a mais b.

A adição é a primeira operaçãoo fundamental da Aritmética, e dela derivam todas as outras. A adição de dois números inteiros obedece às seguintes regras:

a ) números de mesmo sinal : somam-se os módulos e conserva-se o sinal comum.

Exemplos:

(-3) + (-5) + (-2) = - 10
(-7) + (-6) = - 13

b) números de sinais opostos: subtraem-se os módulos e conserva-se o sinal do maior em módulo.

Exemplos:

(-3) + (+7) = + 4
(-12) + (+5) = -7

Propriedades:

Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:

  • Fechamento: a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Diz-se então que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à adição.
  • Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c
  • Comutativa: a + b = b + a
  • Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero é o elemento neutro da adição.
  • Unívoca: o resultado da adição de dois números inteiros é único.
  • Monotônica: Uma desigualdade não se altera, se somarmos um mesmo número inteiro a ambos os membros, ou seja, se a  > b então a + c > b + c.

2 – Subtração:

A subtração é inversa da adição. Enquanto a adição está relacionada com os conceitos de acrescentar e juntar, a subtração corresponde a retirar e completar.

Se a + b = c então dizemos que a = c – b ( c menos b). É óbvio que o conjunto Z é fechado em relação à subtração, pois a subtração (diferença) entre dois números inteiros, sempre será um outro número inteiro. Por exemplo, a operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N dos números naturais, mas possui resultado no conjunto Z dos números inteiros, ou seja -7.

A subtração de dois números inteiros será feita de acordo com a seguinte regra:

a – b = a + (-b)

Exemplos:

10 – (-3) = 10 + (+3) = 13
(-5) – (- 10) = (-5) + (+10) = +5 = 5
(-3) – (+7) = (-3) + (-7) = - 10

3 – Multiplicação

É um caso particular da adição (soma), pois somando-se um número inteiro a si próprio n vezes, obteremos a + a + a + ... + a = a . n = a x n
Na igualdade a . n = b, dizemos que a e n são os fatores e b é o produto.

A multiplicação de números inteiros, dar-se-á segundo a seguinte regra de sinais:

(+) x (+) = +
(+) x (-) = -
(-) x (+) = -
(-) x (-) = +

Exemplos:

(-3) x (-4) = +12 = 12
(-4) x (+3) = -12

Propriedades:

Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:

  • Fechamento: a multiplicação de dois números inteiros é sempre outro número inteiro. Dizemos então que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à operação de multiplicação.
  • Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou a . (b . c) = (a . b) . c
  • Comutativa: a x b = b x a
  • Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.
  • Unívoca: o resultado da multiplicação de dois números inteiros é único.
  • Uma desigualdade não se altera, se multiplicarmos ambos os membros, por um mesmo número inteiro positivo, ou seja, se a   > b então a . c > b . c
  • Uma desigualdade muda de sentido, se multiplicarmos ambos os membros por um mesmo número inteiro negativo, ou seja: a  > b então a . c < b . c
    Exemplo:  10 > 5. Se multiplicarmos ambos os membros por  (-1) fica  - 10 < - 5. Observe que o sentido da desigualdade mudou.
  • Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c).

A propriedade distributiva acima, nos permite apresentar uma justificativa simples, através de um exemplo, para o fato do produto de dois números negativos resultar positivo, conforme mostraremos a seguir:

Considere o seguinte produto:
A = (7 – 5) x (10 – 6) cujo resultado já sabemos ser 2 x 4 = 8.
Desenvolvendo o primeiro membro, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, vem:
A = (7x10) + [7x(-6)] +[(-5)x10] + [(-5)x(-6)]
A = 70 – 42 – 50 + [(-5)x(-6)] Como já sabemos que A = 8, substituindo fica:
8 = 70 – 42 – 50 + [(-5)x(-6)]
Isolando o produto [(-5)x(-6)], vem:
[(-5)x(-6)] = 8 – 70 + 42 + 50 = 8 + 42 + 50 – 70 = 100 – 70 = 
30

Observa-se então que realmente:

[(- 5)x(- 6)] = 30 = + 30.

4 – Potenciação:

É um caso particular da multiplicação, onde os fatores são iguais. Assim é que multiplicando-se um número inteiro a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x a que será indicado pelo símbolo a n , onde a será denominado base e n expoente. Assim é que, por exemplo, 53 = 5.5.5 = 125, 71 = 7, 43 = 4.4.4 = 64, etc.

Com base nas regras de multiplicação de números inteiros, é fácil concluir que:

a) Toda potencia de base negativa e expoente par não nulo, tem como resultado um número positivo.

Exemplos:

(-2)4 = +16 = 16
(-3)2 = +9 = 9
(-5)4 = +625 = 625
(-1)4 = + 1 = 1

b) Toda potencia de base negativa e expoente ímpar, tem como resultado um número negativo.

Exemplos:

(-2)3 = - 8
(-5)3 = - 125
(-1)13 = - 1

5 – Divisão

O conjunto Z dos números inteiros não é fechado em relação à divisão, pois o quociente de dois números inteiros nem sempre é um inteiro.

A divisão de números inteiros, no que concerne à regra de sinais, obedece às mesmas regras vistas para a multiplicação, ou seja:

(+) : (+) = +
(+) : (-) = -
(-) : (+) = -
(-) : (-) = +


Exemplos:

(–10) : (– 2) = + 5 = 5
(– 30) : (+ 5) = – 6

Para finalizar, vamos mostrar duas regras de eliminação de parêntesis ( ), que poderão ser bastante úteis:

R1) Todo parêntese precedido do sinal + pode ser eliminado, mantendo-se os sinais das parcelas interiores.

Exemplo:

+ (3 + 5 – 7) = 3 + 5 – 7 = 1

R2) Todo parêntese precedido do sinal   pode ser eliminado, desde que sejam trocados os sinais das parcelas interiores.

Exemplos:

– (3 + 4 – 7) = – 3 – 4 + 7 = 0
– (–10 – 8 + 5 – 6 ) = 10 + 8 – 5 + 6 = 19
– (–8 – 3 – 5 ) = 8 + 3 + 5 = 16

Originalmente publicado em: http://www.paulomarques.com.br/arq11-10.htm (com adptações)