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Geometria Analítica, Hipérbole

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Hipérbole de centro na origem (0,0)

1 – Definição:

Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c
> 0, denomina-se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a < c.
Assim é que temos por definição:
½ PF1 - PF2 ½ = 2 a

b_284_209_16777215_0___images_stories_matematica_hperbole_01.gif

Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da hipérbole.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da hipérbole. 
Como, por definição, a
< c, concluímos que a excentricidade de uma hipérbole é um número positivo maior que a unidade.
A1A2 é denominado eixo real ou eixo transverso da hipérbole, enquanto que B1B2 é denominado eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérbole. Observe na figura acima que é válida a relação:
c2 = a2 + b2
O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.

2 – Equação reduzida da hipérbole de eixo transverso horizontal e centro na origem (0,0)

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c > a, como vimos acima, podemos escrever:
½ PF1 - PF2 ½ = 2 a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:
b_316_29_16777215_0___images_stories_matematica_hperbole_02.gif
Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:
b_438_29_16777215_0___images_stories_matematica_hperbole_03.gif
Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b2.x2 - a2.y2 = a2.b2, onde b2 = c2 – a2 , conforme pode ser verificado na figura acima.

Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:

Obs: se o eixo transverso ou eixo real (A1A2) da hipérbole estiver no eixo dos y e o eixo não transverso ou eixo conjugado (B1B2) estiver no eixo dos x, a equação da hipérbole de centro na origem (0,0)  passa a ser:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS

1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.

SOLUÇÃO: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.
Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c =
Ö 41
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a =
Ö 41 /4 = 1,60
Resposta: 1,60.

2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .

SOLUÇÃO: Dividindo ambos os membros por 225, vem:

Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.
Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c =
Ö 34.
Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2
Ö 34.

3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.
Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x
NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, como as retas que passam na origem (0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado no infinito.
Dada a hipérbole de equação:

Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações:
R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).x
Veja a figura abaixo:

b_348_271_16777215_0___images_stories_matematica_hperbole_09.gif


 

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