Sistemas Lineares, Regra de Cramer

Paulo Marques

por:

sobre: Matemática

Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas.
Gabriel Cramer - matemático suíço - 1704/1752.

Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3
....................................................= ...
....................................................= ...
an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn

onde os coeficientes a11, a12, ..., ann são números reais ou complexos, os termos independentes
b1, b2, ... , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, ... , xn são as incógnitas do sistema nxn.

Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.


Seja
D xi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b1, b2, ... , bn.


A regra de Cramer diz que:
Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante D xi, ou seja:
xi =
D xi / D

Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:
x + 3y - 2z = 3
2x - y + z = 12
4x + 3y - 5z = 6

Para o cálculo dos determinantes a seguir, é conveniente rever o capítulo Determinantes clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.

Teremos:

Portanto, pela regra de Cramer, teremos:

x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5
x2 =
D x2 / D = 48 / 24 = 2
x3 =
D x3 / D = 96 / 24 = 4

Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.

Observe que resolvemos este mesmo sistema através do método de escalonamento, em Sistemas Lineares III. É conveniente rever aquela solução clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.

Agora, resolva este:
2 x + 5y + 3z = 20
5 x + 3y - 10z = - 39
x + y + z = 5

Resp: S = { (-1, 2, 4) }


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