Inicio seta Matemática seta Sistemas Lineares, Método de eliminação de Gauss

Sistemas Lineares, Método de eliminação de Gauss

Avaliação: 4.1 / 5 (13 votos)

Método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento

Karl Friedrich Gauss - astrônomo, matemático e físico alemão - 1777/1855.

O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber:

T1 - um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
2x + 3y = 10
5x - 2y = 6

5x - 2y = 6
2x + 3y = 10
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.

T2 - um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7
x - 2y + 3z = 1

3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7
3x - 6y + 9z = 3
são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3.

T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.

Exemplo: os sistemas
15x - 3y = 22
5x + 2y = 32

15x - 3y = 22
...... - 9y = - 74
são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ).

Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo método de Gauss ou escalonamento.

Seja o sistema de equações lineares:
. x + 3y - 2z = 3 .Equação 1
2x
. - .y + z = 12 Equação 2
4x + 3y - 5z = 6
.Equação 3

SOLUÇÃO:
1
- Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem:
2x
.-...y + z = 12
x
..+ 3y - 2z = 3
4x + 3y - 5z = 6

2 - Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) - uso da transformação T2 - somando o resultado obtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido - uso da transformação T3 - vem:
2x -
..y + z = 12
.....- 7y + 5z = 6
4x + 3y - 5z = 6

3 - Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com a equação 3 e substituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem:
2x -
..y + ..z = ...12
.....- 7y + 5z = ....6
........5y - 7z = - 18

4 - Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem:
2x -
.....y + ....z =....12
.....- 35y +25z =... 30
.......35y - 49z = -126

5 - Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado obtido, vem:
2x -
.....y + ....z = ..12
.....- 35y + 25z = ..30
...............- 24z = - 96

6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z = 4.
Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas:
Teremos: - 35y + 25(4) = 30
\ y = 2.
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica:
2x - 2 + 4 = 12
\ x = 5.
Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno ordenado (5,2,4) :
S = { (5, 2, 4) }

Verificação:

Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos:
5 + 3(2) - 2(4) = 3
2(5) - (2) + (4) = 12
4(5) + 3(2) - 5(4) = 6
o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado.

Sobre a técnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado, podemos observar que o nosso objetivo era escrever o sistema na forma
ax + by + cz = k1
dy + ez = k2
fz = k3
de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k3 / f ) e daí, por substituição, determinar y e x. Este é o caminho comum para qualquer sistema.

É importante ressaltar que se em z = k3 / f , tivermos:
a) f
¹ 0 , o sistema é possível e determinado.
b) f = 0 e k3
¹ 0 , o sistema é impossível, ou seja, não possui solução, ou podemos
c) dizer também que o conjunto solução é vazio, ou seja: S =
f .
d) f = 0 e k3 = 0 , o sistema é possível e indeterminado, isto é, possui um número infinito de soluções.

Não podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema de equações lineares, a não ser recomendar a correta e oportuna aplicação das transformações T1, T2 e T3 mostradas anteriormente.

Podemos entretanto observar que o método de escalonamento consiste basicamente em eliminar a primeira incógnita a partir da segunda equação, eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da terceira e assim sucessivamente, utilizando-se das transformações T1, T2 e T3 vistas acima.

A prática, entretanto, será o fator determinante para a obtenção dos bons e esperados resultados.
Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a técnica de escalonamento:

Sistema I : Resp: S = { (3, 5) }
4x - 2y = 2
2x + 3y = 21

Sistema II : Resp: S = { (-1, 2, 4) }
2 a + 5b + .3c = ...20
5 a + 3b - 10c = - 39
...a + ..b + ....c = .....5

Sistema III : Resp: S = { (2, 3, 5) }
..x + .y .- ..z = ...0
..x - 2y + 5z = 21
4x +
.y + 4z = 31


 

Simulados

Simulado com resolução/questões comentadas Com questões comentadas.
Existe conteúdo no site relacionado a este simulado. Com conteúdo relacionado no site. Simulados gratuitos para Vestibular, Enem e Concurso. Para manter um histórico de seus simulados, identifique-se antes.

Publique seu Artigo

Gostaria de ter alguns dos seus artigos publicados aqui no Algo Sobre?

Envie agora


MM - MMXIII © Algo Sobre Vestibular, Enem e Concurso
Quem somos | Feed | Cadastre-se | Anunciar | Release | Termos do Uso
Você está sendo registrado com suas credenciais do Facebook.