Divisibilidade e a decomposição em fatores primos (fatoração)

A decomposição de um número natural em um produto de fatores primos é chamada de fatoração.

A fatoração de qualquer número natural primo resultará no próprio número. A fatoração do número primo 73, por exemplo, não resultará em outro número senão ao próprio número 73.

A fatoração de qualquer número natural composto resultará em um produto de 2 ou mais fatores primos.

Observe que um mesmo fator primo pode ocorrer mais de uma vez, quando isto acontece o representamos na forma de uma potência cujo expoente é o número de ocorrências do tal fator e a base é o próprio fator.

Vejamos o número 147, por exemplo. Ele pode ser decomposto nos seguintes fatores primos:

• 3
• 7
• 7

Ou seja, 147 decomposto em fatores primos é igual a 3 . 7².

Como saber se um número primo

Devemos dividir o número dado pelos números primos menores que ele, até obter um quociente menor ou igual ao divisor. Se nenhuma das divisões for exata, o número é primo. 

Método para a decomposição em fatores primos

Para realizarmos a decomposição de um número em fatores primos, devemos procurar pelo menor número primo capaz de dividi-lo (divisão exata) e realizarmos a sua divisão por este número enquanto for possível. Depois devemos procurar pelo próximo número primo capaz de dividi-lo e continuar neste procedimento até que o quociente da divisão resulte em 1. Neste momento teremos todos os fatores primos que compõe tal número.

Tomemos como exemplo o número 360. O primeiro número primo capaz de dividi-lo é o número 2:

Note que à esquerda da barra colocamos o número que estamos fatorando e todos os quocientes que vamos encontrando durante o processo. À direita dela, vamos colocando todos os divisores primos que causam a divisão exata.

O quociente 180 ainda é divisível por 2, por isto ele será utilizado novamente como divisor:

90 continua sendo divisível por 2, logo dividimos novamente por 2:

45 não é mais divisível por 2 e o próximo número primo capaz de dividi-lo sem deixar resto é o número 3:

15 também é divisível por 3:

5 não é divisível por 3 e o próximo número primo capaz de dividi-lo é o próprio número 5:

Neste momento chegamos finalmente ao quociente 1. Temos então que o número 360 pode ser decomposto nos seguintes fatores primos:

2, 2, 2, 3, 3 e 5.

Podemos dizer então que: 360 = 2³ . 3² . 5.

Principais casos de fatoração

Fator comum

ax + bx + cx = x . (a + b + c) (O fator comum é x)
12x³ - 6x² + 3x = 3x. (4x² - 2x + 1) (O fator comum é 3x)

Agrupamento

ax + ay + bx + by = (Agrupar em fator comum)
= (ax + ay) + (bx + by) = (Colocar em evidência o fator comum)
= a(x + y) + b(x + y) = (Colocar o fator (x + y) em evidência)
= (x + y) (a + b) (Este produto é a forma fatorada)

Diferença de quadrados

a² - b² = (a + b) (a - b)

Trinômio quadrado perfeito

a² + 2ab + b2 = (a + b) (a + b) (a + b)²

Um trinômio é quadrado perfeito quando:

• dois de seus termos são quadrados perfeitos (a² e b² )
• o outro termo é igual ao dobro do produto das raízes dos quadrados perfeitos (2ab)

Trinômio do segundo grau

Trinômio do tipo x² + bx + c

Devemos procurar dois números p e q que tenham soma b e produto c.

x² + bx + c = (x + p) (x + q)

Exemplo: x² + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)

Soma de cubos

É a fatoração de uma expressão algébrica composta por dois monômios (seja um binômio) e entre eles há a operação de adição, esses dois monômios são elevados ao cubo (elevados à terceira potência). 

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

Exemplo: x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)

Diferença de dois cubos

É a diferença na operação entre os dois monômios que aqui nesse caso é uma subtração (diferença).

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

pdf  Exercícios resolvidos sobre Fatoração para a Fuvest (102.52 kB)

Referências

ALMEIDA Edgar. Disponível em: <http://blog.educacaoadventista.org.br/tioney/arquivos/lista-fatoracao.pdf>
Matemática Didática. Decomposição de um Número Natural em Fatores Primos. Disponível em: <http://www.matematicadidatica.com.br/DecomposicaoFatoresPrimos.aspx> Acesso em 11 de jun 2013.