Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na prática, usa-se sempre o desconto comercial, este será o tipo de desconto a ser abordado a seguir.
Vamos considerar a seguinte simbologia:
N = valor nominal de um título.
V = valor líquido, após o desconto.
Dc = desconto comercial.
d = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.
Teremos:
V = N - Dc
No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título. Logo:
Dc = Ndn
Substituindo, vem:
V = N(1 - dn)
Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
Solução:
V = 10000 . (1 - 0,05 . 3) = 8500
Dc = 10000 - 8500 = 1500
Resp: valor descontado = $8.500,00; desconto = $1.500,00
Desconto bancário
Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - imposto sobre operações financeiras.
É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, através desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor valor para o proprietário do título.
Exemplo:
Um título de $100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva da operação.
Solução:
Desconto comercial: Dc = 100000 . 0,,05 . 6 = 30000
Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000
IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750
Daí, o valor líquido do título será: 100000 - 32750 = 67250
Logo, V = $67250,00
A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m.
Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é amplamente favorável ao banco.
Duplicatas
Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata:
Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário.
Obs:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.
Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco para troca-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.
Exemplo:
Uma empresa oferece uma duplicata de $50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação.
SOLUÇÃO:
Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000
Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000
IOF = 50000(0,015/360).90] = 187,50
Teremos então:
Valor líquido = V = 50000 - (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50
Taxa efetiva de juros = i = [(50000/42812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60 % a.m.
Resp: V = $42812,50 e i = 5,60 % a.m.
Exercícios resolvidos e propostos
1 - Fiscal - MS-2000) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$2000,00 dois meses e meio antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 4% a. m. A taxa efetiva de juros dessa operação foi igual a:
a) 10%
b) 10,44%
c) 10,77%
d) 11,11%
Solução:
Teremos: Dc = N.i.n = 2000.0,04.2,5 = 200
O valor líquido recebido será igual a L = 2000 - 200 = 1800.
Portanto, a taxa efetiva de juros da operação foi igual a 200/1800 = 0,1111 = 11,11% ou seja, alternativa (d).
2 - AFRF - 2003) Um título sofre um desconto comercial de R$9810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês.Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.
a) R$ 9810,00
b) R$ 9521,34
c) R$ 9500,00
d) R$ 9200,00
e) R$ 9000,00
Solução:
Teremos: Dc = N.i.n , onde Dc = 9810, i = 3% = 0,03 e n = 3. Substituindo os valores conhecidos fica:
9810 = N.0,03.3 = 0,09.N, de onde tiramos N = 9810 / 0,09 = 109000
Como vimos no item II acima, o desconto racional é dado por: Dr = N.i.n / (1 + i.n). Substituindo os valores conhecidos, vem:
Dr = (109000.0,03.3) / (1 + 0,03.3) = 9810 / 1,09 = 9000
Portanto, a alternativa correta é a alternativa (e).
3 - Um título de $5000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% a.m. , pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado.
Resposta: desconto = $300,00 e valor descontado ou valor líquido = $4700,00
4 - Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 12% a . a., mais IOF de 1,5% a . a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto, a título de reciprocidade, o banco exige um saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas condições, para uma duplicata de valor nominal $50000,00 que vai ser descontada 3 meses antes do vencimento, pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação.
Resposta: 6,06% a.m.