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Sistemas Lineares I

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1 - Equação linear

Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , xn , como sendo a equação da forma
 
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b onde a1, a2, a3, ... an e b são números reais ou complexos.
a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes e b, termo independente.

Nota:
se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea.

Exemplos de equações lineares:

2x1+3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2,coeficientes 2 e 3,e termo independente7)

3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5)

2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17)

-x1 + 3x2 -7x3 + x4 = 1 (variáveis x1, x2 , x3 e x4, coeficientes -1, 3, -7, e 1 e termo independente 1)

2x + 3y + z - 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo). 
Logo, este é um exemplo de equação linear homogênea.

2 - A solução de uma equação linear

Já estamos acostumados a resolver equações lineares de uma incógnita (variável), que são as equações de primeiro grau. Por exemplo: 2x + 8 = 36, nos leva à solução única x = 14. Já, se tivermos uma equação com duas incógnitas (variáveis), por exemplo x + y = 10, a solução não é única, já que poderemos ter um número infinito de pares ordenados que satisfazem à equação, ou seja: x=1 e y=9 [par ordenado (1,9)], x =4 e y =6 [par ordenado (4,6)], x = 3/2 e y 17/2 [par ordenado (3/2,17/2)], ... , etc.

Consideremos agora, uma equação com 3 incógnitas.

Seja por exemplo: x + y + z = 5

As soluções, serão x=1, y=4 e z=0, uma vez que 1+4+0 =5; x=3, y=7 e z=-5, uma vez que
3+7- 5=5; x=10, y=-9 e y=4 (
uma vez que 10-9+4=5); ... , que são compostas por 3 elementos, o que nos leva a afirmar que as soluções são os ternos ordenados (1,4,0), (3,7,-5) , (10, -9, 4), ... , ou seja, existem infinitas soluções (um número infinito de ternos ordenados) que satisfazem à equação dada.

De uma forma geral, as soluções de uma equação linear de duas variáveis, são pares ordenados; de três variáveis, são ternos ordenados; de quatro variáveis, são quadras ordenadas; ...
Se a equação linear possuir
n variáveis, dizemos que as soluções são n - uplas (lê-se ênuplas) ordenadas.

Assim, se a ênupla ordenada (r1, r2, r3 , ... , rn) é solução da equação linear
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b, isto significa que a igualdade é satisfeita para
x1 = r1, x2 = r2 , x3 = r3 , ... , xn = rn e poderemos escrever:
a1.r1 + a2.r2 + a3.r3 + ... + an.rn = b.

3 - Exercícios resolvidos:

1 - Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p?

Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p,
6.2 -7.5 + 2.p = 5. Logo, 12 - 35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e portanto, p = 14.

2 - Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado
(
a , b , g ) é solução.

Solução: Podemos escrever: 5a - 2b + g = 14. Daí, tiramos: g = 14 - 5a + 2b . Portanto, a solução genérica será o terno ordenado (a , b , 14 - 5a + 2b ).

Observe que arbitrando-se os valores para a e b , a terceira variável ficará determinada em função desses valores. Por exemplo, fazendo-se a = 1, b = 3, teremos
g = 14 - 5a + 2b = 14 - 5.1 + 2.3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. Verificamos pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno ordenado
(
a , b , 14 - 5a + 2b ) a solução genérica.

Agora resolva estes:

1 - Qual o conjunto solução da equação linear 0x + 0y + 0z = 1?
Resp : S =
f

2 - Determine o valor de 6p, sabendo-se que a quadra ordenada (2, p, -3, p+3) é solução da equação
3x + 4y - 5z + 2t = 10.
Resp : -17


 

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