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Razão e Proporção

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Grandeza

É todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a variação de um, como consequência o outro varia também.

Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por exemplo: quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si.

Exemplo:
Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado. Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempo depende do número de operários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída.

Razão

Razão é o quociente entre dois números não nulos ou quociente entre duas grandezas variáveis.

Quando escrevemos dois números na forma de com b ≠ 0 ; dizemos que temos uma razão entre eles.

Ao escrever estamos escrevendo a razão entre 3 e 2, onde a parte de cima é chamada de antecedente e a de baixo de consequente.

As razões são chamadas de razões equivalentes porque representam o mesmo valor e é chamada de forma irredutível porque é a forma mais simplificada possível de se escrever essa razão.

Proporção

À igualdade de duas razões equivalentes damos o nome de proporção.

Quando escrevemos estamos escrevendo uma proporção que lê-se: 2 está para 5 assim como 4 está para 10.

O primeiro e o último termos são chamados de extremos da proporção (2 e 10 são os extremos).

O segundo e o terceiro termos são chamados de meios da proporção (5 e 4 são os meios).

Ao último termo de uma proporção chamamos de quarta proporcional (no exemplo anterior 10 é a quarta proporcional).

Quando o segundo e o terceiro termos são iguais chamamos de proporção contínua.

é uma proporção contínua, e nesse caso o último termo (8) é chamado de terceira proporcional.

Ilustração sobre Proporção

Propriedades das proporções

1. Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: .

2. Uma proporção não se altera ao alternarmos os seus meios, ou os seus extremos:

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Nesse caso, toda vez que trocarmos os termos teremos uma nova proporção.

3. Numa proporção, a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes assim como cada antecedente está para seu respectivo consequente:

proporcoes_03.gif

Nesse caso o resultado da soma ou da diferença é um número proporcional às razões dadas.

Chamamos de Sequências Diretamente Proporcionais àquelas sequências numéricas nas quais a razão formada pelos seus termos correspondentes é sempre constante.

Ex: as sequências {3, 6, 9, 12, 15} e {2, 4 , 6 , 8, 10} são diretamente proporcionais, porque quando escritas na forma de razão teremos sempre valores proporcionais

= constante

Sequências Inversamente Proporcionais são aquelas na qual o produto formado pelos termos correspondentes é constante.

Ex: as sequências {1, 2, 3, 5, 6} e {60, 30, 20, 12, 10} são inversamente proporcionais porque o produto formado pelos seus termos correspondentes é sempre o mesmo.

Ou seja: 1×60 = 2×30 = 3×20 = 5×12 = 6×10 = constante

Divisão em Partes Diretamente Proporcionais

Ex: dividir o nº 360 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.

Esse número será dividido em três partes que chamaremos de A , B e C, e a soma das partes deverá ser igual a 360: A + B + C = 360

Representando essas divisões na forma de proporções:

Usando a propriedade 3:

proporcoes_06.gif

Ao resultado dessa divisão chamamos de constante de proporcionalidade.

Para determinar os valores de A , B e C , vamos igualar cada um deles com a constante de proporcionalidade:

proporcoes_07.gif

Divisão em Partes Inversamente Proporcionais

Ex: dividir o número 496 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 5.

Esse número será dividido em três partes que chamaremos de A , B e C, e a soma das partes deverá ser igual a 496:

Usando a propriedade 3 após tirar o MMC.

proporcoes_09.gif

Igualando a constante com os valores obtidos depois do mmc, temos:

proporcoes_10.gif

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