Sistemas Lineares II

Paulo Marques

por:

sobre: Matemática

1 - Sistema linear

É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x1, x2, x3, ... , xn) do tipo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3
.................................................................
.................................................................
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bn

Exemplo:
3x + 2y - 5z = -8
4x - 3y + 2z = 4
7x + 2y - 3z = 2
0x + 0y + z = 3

Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis).
Os termos a11, a12, ... , a1n, ... , am1, am2, ..., amn são denominados coeficientes e b1, b2, ... , bn são os
termos independentes
.
A ênupla (
a 1, a 2 , a 3 , ... , a n) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente a todas as m equações.

Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema:
x + y + 2z = 7
3x + 2y - z = 11
x + 2z = 4
3x - y - z = 2
pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.

Notas:
1 - Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções.
Exemplo: Os sistemas lineares

S1: 2x + 3y = 12
3x - 2y = 5
S2: 5x - 2y = 11
6x + y = 20

são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique!

2 - Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL.

3 - Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL.

4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO.

5 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO.

6 - Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja
b1 = b2 = b3 = ... = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO.

Exemplo:
x + y + 2z = 0
2x - 3y + 5z = 0
5x - 2y + z = 0

2 - Exercícios Resolvidos

2.1 - UEL - 84 (Universidade Estadual de Londrina)
Se os sistemas

S1: x + y = 1
x - 2y = -5
S2: ax - by = 5
ay - bx = -1

são equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a:

a) 1
b) 4
c) 5
d) 9
e) 10

Solução:

Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema S1:
x + y = 1
x - 2y = -5

Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 \ y = 2.
Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1
\ x = -1.
O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}.

Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S2. Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para o sistema S1, vem:
a(-1) - b(2) = 5
Þ - a - 2b = 5
a(2) - b (-1) = -1 Þ 2 a + b = -1
Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica:
-2 a - 4b = 10
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (em vermelho),
fica: -3b = 9
\ b = - 3
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra equação em azul), teremos:
2 a + (-3) = -1
\ a = 1.
Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10.
Portanto a alternativa correta é a letra E.

2.2 - Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo,
2x - my = 10
3x + 5y = 8, seja impossível.

Solução:
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação:
x = (10 + my) / 2
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem:
3[(10+my) / 2] + 5y = 8

Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem:
3(10+my) + 10y = 16
30 + 3my + 10y = 16
(3m + 10)y = -14
y = -14 / (3m + 10)

Ora, para que não exista o valor de y e, em consequência não exista o valor de x, deveremos ter o denominador igual a zero, já que , como sabemos, NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO.

Portanto, 3m + 10 = 0 , de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possua solução.

Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas:

a) 2x + 5y .- ..z = 10
.............3y + 2z = ..9
.....................3z = 15

b) 3x - 4y = 13
.....6x - 8y = 26

c) 2x + 5y = 6
....8x + 20y = 18

Resp:
a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)}
b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções.
c) sistema impossível. Não admite soluções.


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